% Capitulo 02
% Marcelo - 26/08/1997

\subsection{Abordagem por Hopfield}

Podem ser feitas duas abordagens para se resolver o problema

\begin{description}
\item[M\'{e}todo A: ]
Seja o sistema $Ax=b$ e $V$ a inversa de $A$. Assuma tamb\'{e}m que o sistema
seja de ordem $n \times n$. Assim, temos que $AV=I$, ou seja, igual \`{a} matriz
identidade.

O erro associado com a $k$-\'{e}sima coluna de $V$ \'{e} dado por:

$$E_k={1 \over 2}\left[ {\left( {\sum\limits_{j=1}^n {A_{1j}V_{jk}}} \right)^2+
	\cdots +\left( {\sum\limits_{j=1}^n {A_{kj}V_{jk}}-1} \right)^2+
	\cdots +\left( {\sum\limits_{j=1}^n {A_{nj}V_{jk}}} \right)^2} \right]$$


Ou, de forma mais gen\'{e}rica:

$$E_k={1 \over 2}\left[ {\sum\limits_{i=1}^n {\left( {\sum\limits_{j=1}^n 
	{A_{ij}V_{jk}}} \right)^2}-2\left( {\sum\limits_{j=1}^n 
	{A_{kj}V_{jk}}} \right)+1} \right]$$

A desvantagem associada a este m\'{e}todo est\'{a} relacionada com o fato de
se necessitar de $n$ redes para solucionar o problema.

\item[M\'{e}todo B: ]

Neste m\'{e}todo, ao inv\'{e}s de se encontrar a inversa de $A$ e depois multiplic\'{a}-la
por $b$ para se obter a solu\c{c}\~{a}o, o valor de $x$ ser\'{a} encontrado diretamente.
Fazendo $V$ agora um vetor coluna, quando se tiver $AV=b$, $V$ dever\'{a} 
representar uma solu\c{c}\~{a}o do sistema, ou seja, $x=A^{-1}b$. A nova fun\c{c}\~{a}o
de energia \'{e} ent\~{a}o descrita como:

$$E={1 \over 2}\left[ {\left( {\sum\limits_{j=1}^n {A_{1j}V_{j}-b_1}} \right)^2
	+\left( {\sum\limits_{j=1}^n {A_{2j}V_{j}-b_2}} \right)^2+\cdots 
	+\left( {\sum\limits_{j=1}^n {A_{nj}V_{j}-b_n}} \right)^2} \right]$$

Ou, de forma mais gen\'{e}rica:

$$E={1 \over 2}\sum\limits_{i=1}^n {\left( {\sum\limits_{j=1}^n {A_{ij}V_{j}-b_i}} \right)^2}$$

\end{description}

Para o m\'{e}todo A, se a matriz $A^{-1}$ for mal condicionada, pode ser
que a rede n\~{a}o forne\c{c}a a melhor solu\c{c}\~{a}o. J\'{a} para o m\'{e}todo B, n\~{a}o se 
deseja realizar uma inversa e sim descobrir a melhor solu\c{c}\~{a}o. Desta
forma, o resultado da rede \'{e} sempre o melhor resultado para $x$.


